Resolució d’equacions
Continguts
Per a poder tractar equacions de manera algebràica per tal de solucionar-les, podem utilitzar una llibreria anomenada SymPy.
SymPy és capaç d’operar algebraicament i coneix identitats comunes com ara \(sin(x)^2+cos(x)^2=1\), però abans de continuar fent àlgebra a SymPy, hem de cobrir alguns mètodes algebraics bàsics. Aquests es proporcionen a la següent taula que inclou l’expansió i factorització polinòmica, la simplificació d’expressions i la resolució d’equacions. Els apartats següents mostren cadascun d’ells.
| Mètode | Descripció |
|---|---|
sympy.expand() |
Amplia polinomis |
sympy.factor() |
Factoritza polinomis |
sympy.simplify() |
Simplifica expressions |
sympy.solve() |
Iguala l’expressió a zero i resol la variable sol·licitada |
Expansió polinomial i factorització
Primer, per a poder treballar en funció de \(x\), primer cal cridar el paquet SymPy i definir \(x\).
import sympy
x = sympy.symbols('x')
Quan es tracta de polinomis, l’expansió i la factorització són operacions habituals que poden ser tediosos i que requereixen temps a mà. SymPy fa que siguin ràpids i fàcils. Per exemple, podem ampliar l’expressió \((x-1)(3x+2)\) com es demostra a continuació.
expr = (x - 1)*(3*x + 2)
sympy.expand(expr)
El procés es pot invertir factoritzant el polinomi.
sympy.factor(3*x**2 - x - 2)
Simplificació
És possible que SymPy no retorni sempre una expressió matemàtica en la forma més simple. A continuació es mostra una expressió amb una forma més senzilla, i si la introduïm a SymPy, no es simplifica automàticament.
3*x**2 - 4*x - 15 / (x - 3)
Tanmateix, si li indiquem a SymPy que simplifiqui l’expressió mitjançant el mètode simplify(), farà un millor intent de trobar una forma més senzilla.
sympy.simplify((3*x**2 - 4*x - 15) / (x - 3))
Ressolució d’equacions
SymPy també pot resoldre equacions d’una variable desconeguda mitjançant la funció solve().
La funció requereix una única expressió igual a zero. Per exemple, el següent resol per \(x\) en \(x^2+1.4x-5.76=0\).
sympy.solve(x**2 + 1.4*x - 5.76)
Exemple (taula d’equilibri)
Una aplicació química comuna de les operacions algebraiques anteriors és resoldre problemes d’equilibri mitjançant el mètode ICE (Initial, Change, and Equilibrium). Com a penúltim pas, les expressions matemàtiques s’insereixen a l’expressió d’equilibri i sovint donen lloc a una equació polinòmica. A continuació es mostra un exemple de problema amb la taula ICE completada i l’expressió d’equilibri.
| 2 NH\(_3\) | \(\rightleftharpoons\) | 3 H\(_2\) (g) | + | N\(_2\) (g) | |
|---|---|---|---|---|---|
| Inicial | 0.60 M | 0.60 M | 0.80 M | ||
| Variació, \(\Delta\) | -2x | +3x | +x | ||
| Equilibri | 0.60 - 2x | 0.60 + 3x | 0.80 + x |
Per ampliar la part dreta de l’equació, podem utilitzar el mètode expand().
expr = (0.80 + x) * (0.60 + 3*x)**3 / (0.60 - 2*x)**2
sympy.expand(expr)
Això probablement no és el que esperavem. El polinomi s’ha ampliat per al numerador i el denominador, però el resultat encara és una fracció. Podem indicar a SymPy que simplifiqui els resultats.
sympy.simplify(sympy.expand(expr))
Això és molt millor. En definitiva, volem resoldre per \(x\), però la funció solve() requereix una expressió que sigui igual a zero.
Ho podem aconseguir restant \(3.44\).
sympy.solve(expr - 3.44)
El polinomi de quart ordre retorna quatre solucions, però només una tindrà sentit físic per a la nostra aplicació. El segon valor, \(0.09166\), és l’únic valor no imaginari que no genera concentracions negatives, de manera que aquesta és la solució per a \(x\).